线性代数示例

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

去掉 ${| p + q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 1.2

去掉 ${| p - q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

去掉 ${| p |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 2.2

去掉 ${| q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

解题步骤 3

将所有包含 $p$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $2 p^{2}$ 。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(p + q)}^{2}$ 重写为 $(p + q) (p + q)$ 。

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(p + q) (p + q)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $p$ 乘以 $p$ 。

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $p q$ 和 $q p$ 相加。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $q$ 和 $p$ 重新排序。

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $p q$ 和 $p q$ 相加。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.4

将 ${(p - q)}^{2}$ 重写为 $(p - q) (p - q)$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(p - q) (p - q)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

运用分配律。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5.2

运用分配律。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5.3

运用分配律。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.6.1.1

将 $p$ 乘以 $p$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.4

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 3.2.6.1.4.1

移动 $q$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.4.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.6

将 $q^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.2

从 $- p q$ 中减去 $q p$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

移动 $q$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.2.2

从 $- p q$ 中减去 $p q$ 。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.3

合并 $p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 p q$ 中减去 $2 p q$ 。

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.3.2

将 $p^{2} + q^{2} + p^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.4

将 $p^{2}$ 和 $p^{2}$ 相加。

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.5

合并 $2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 p^{2}$ 中减去 $2 p^{2}$ 。

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

解题步骤 3.5.2

将 $q^{2} + q^{2}$ 和 $0$ 相加。

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.6

将 $q^{2}$ 和 $q^{2}$ 相加。

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 4

将 $2 q^{2} = 2 q^{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 q^{2} = 2 q^{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $q^{2}$ 除以 $1$ 。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

约去公因数。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

用 $q^{2}$ 除以 $1$ 。

$q^{2} = q^{2}$

解题步骤 5

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| q | = | q |$

解题步骤 6

求解 $q$ 。

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解题步骤 6.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

解题步骤 6.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$q = q$

$q = - q$

解题步骤 6.3

求解 $q$ 的 $q = q$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有包含 $q$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.3.1.1

从等式两边同时减去 $q$ 。

$q - q = 0$

解题步骤 6.3.1.2

从 $q$ 中减去 $q$ 。

$0 = 0$

解题步骤 6.3.2

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

解题步骤 6.4

求解 $q$ 的 $q = - q$ 。

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解题步骤 6.4.1

将所有包含 $q$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.4.1.1

在等式两边都加上 $q$ 。

$q + q = 0$

解题步骤 6.4.1.2

将 $q$ 和 $q$ 相加。

$2 q = 0$

解题步骤 6.4.2

将 $2 q = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $2 q = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

用 $q$ 除以 $1$ 。

$q = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$q = 0$

解题步骤 6.5

列出所有解。

$q = 0$

解题步骤 7

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 8

线性代数 示例

线性代数示例